אליצור, בנם של פרופסור יהודה אליצור וסופרת הילדים רבקה אליצור, נולד בירושלים. הוא היה מתלמידיו של הרב צבי יהודה הכהן קוק בישיבת מרכז הרב, בטרם התגייס לגדוד 50 של הנח"ל. לאחר שירותו סיים את לימודי התואר השני במתמטיקה באוניברסיטה העברית ושימש כמורה בתיכון "קרית נוער" בירושלים.
כשהוקם היישוב עפרה ב-1975 הפך אליצור לאחד ממנהיגיו הבולטים. הוא שימש כמזכ"ל "אמנה" וכיו"ר התנועה לעצירת הנסיגה מסיני, כמזכ"ל מועצת יש"ע וכממלא מקום מזכ"ל המפד"ל. בבחירות לכנסת ב-1984 מוקם במקום התשיעי ברשימת המפלגה, אך לא הצליח להיכנס לכנסת. ב-1998 שימש כראש לשכתו של ראש הממשלה בנימין נתניהו.
במשך שנים נחשב אליצור לאחד הפובליציסטים הבולטים בציבור הדתי-לאומי בישראל. הוא החל את דרכו כבעל טור בעיתון "חדשות", אך התפטר על רקע סגנונו הבוטה של העיתון. בין השנים 1991 ל-2008 היה בעל טור בידיעות אחרונות וערך את המוסף הפוליטי של "מקור ראשון". על עבודתו העיתונאית קיבל את פרס סוקולוב למפעל חיים.
הופעתו הפומבית האחרונה הייתה בטקס יום העצמאות של היישוב עפרה, שם הדליק משואה ונשא נאום שניתן לפרשו כדברי סיכום. אליצור הותיר אחריו אישה, יעל, שישה ילדים ועשרות נכדים.